Il y a donc sur la surface une infinité de solutions doublement
asymptotiques homoclines.
C. Q. F. D.
396.Soit un arc quelconque de notre courbe asymptotique de la première famille, et supposons que cet arc coupe une courbe asymptotique de seconde famille aux deux points extrêmes et Je dis qu’entre ces deux points et il y aura toujours d’autres points d’intersection avec la courbe de la seconde famille.
Soit en effet l’arc de la courbe de la seconde famille qui joint les deux points et
Ou bien les deux arcs et ont d’autres points communs que leurs extrémités, et alors le théorème se trouve démontré.
Ou bien ces deux arcs n’ont pas d’autre point commun que leurs extrémités et alors les deux arcs limitent une aire analogue à celle que nous avons envisagée à la fin du numéro précédent ; les mêmes raisonnements lui sont applicables cl nous pouvons conclure que l’arc coupe une infinité de fois la courbe de la seconde famille.
Donc sur une courbe asymptotique de la première famille entre deux points d’intersection quelconques avec la courbe de la seconde famille, il y en a une infinité d’autres.
Sur une surface asymptotique quelconque, entre deux solutions doublement asymptotiques quelconques, il y en a une infinité d’autres.
Nous n’avons pas encore le droit de conclure que les solutions doublement asymptotiques sont überalldicht sur la surface asymptotique ; mais cela semble probable.
Les points d’intersection des deux courbes asymptotiques peuvent se répartir en deux catégories. En effet, on peut parcourir la courbe asymptotique dans deux sens opposés ; nous considérerons ce sens comme positif, si l’on va d’un point à son conséquent. Soient alors un point d’intersection des deux courbes, deux arcs de courbes asymptotiques se coupant en Supposons que soit de la première et de la seconde famille, et qu’en suivant les courbes dans le sens positif on aille
