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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

Nous avons formé ensuite la fonction $\mathrm {S}$ de Jacobi et nous l’avons développée suivant les puissances de $\varepsilon$

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .$

Arrêtons-nous au second terme en négligeant $\varepsilon ^{2}$ et écrivons

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon .$

Nous avons trouvé ensuite

$\mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy,$

ou, en attribuant aux constantes $\mathrm {A} _{0}$ et $h$ la valeur zéro

$\mathrm {S} _{0}=\pm 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}}\,;$

puis nous avons trouvé

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \;\psi e^{ix},$

où $\psi$ est une fonction de $y$ définie par l’équation

$i\psi +2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=\mu \varphi (y).$

Nous avons posé

$\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=t,$

et supposant

${\begin{aligned}h&=0,&\varphi (y)&=\sin y,&\alpha &={\frac {1}{2{\sqrt {2\mu }}}},\end{aligned}}$

nous avons trouvé (p. 464 et 465, t. II) deux valeurs de $\psi$ correspondant aux deux courbes asymptotiques des deux familles. L’une de ces valeurs est

$\psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},$

et l’autre

$\psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot$

Les équations des deux surfaces asymptotiques seront alors

${\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\end{aligned}}$