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CHAPITRE XXIII.
Il n’en est pas de même du suivant qui existe lorsque la fonction
est homogène par rapport aux
Nous avons vu, au no 56, que si
est homogène de degré
les équations aux variations admettent pour intégrale
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(2x_{ki}\eta _{ki}+y_{ki}\xi _{ki}\right)=3t\left[\sum \left({\frac {y_{ki}\eta _{ki}}{m_{i}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}}\xi _{ki}\right)\right]+\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866cb8649eee74fe4bd1f84de0a849bd92be7d66)
ou, en supprimant les indices,
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(2x\eta +y\xi \right)=3t\left[\sum \left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi \right)\right]+\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43a10ebd3ab02f31bf810ec6f7e49eafbd788f0)
Plus généralement, si
est homogène d’ordre
on obtiendrait,
par le même procédé, l’intégrale suivante
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(2x\eta -py\xi \right)=(2-p)t\sum \left({\frac {y\eta }{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,\xi \right)+\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d249b6ebada2bebb59402b365b99db8e1e6bc5f)
d’où l’invariant intégral
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\left(2x\,dy-py\,dx\right)+(p-2)t\int \sum \left({\frac {y\,dy}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,dx\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb78f87ebdbdaa64e9574375c1ec28c467fb38a0)
invariant qui est d’une nature toute particulière puisqu’il dépend
du temps.
La seconde intégrale peut s’écrire
![{\displaystyle \int d\sum \left({\frac {y^{2}}{2m}}-\mathrm {V} \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252e0841f2cd3dbb975eda12eae138022b15eec8)
c’est donc une intégrale de différentielle exacte ; et il est aisé de
voir que
![{\displaystyle \sum \left({\frac {y^{2}}{2m}}-\mathrm {V} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147c88e614bea8ad4df4b962471e05d47f2b5c69)
n’est autre chose que la constante des forces vives que j’appellerai ![{\displaystyle \mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f95ceb98ef6f75abaf0fc2718cdca897e71f7)
L’invariant
est du premier ordre ; c’est donc une intégrale
prise le long d’un arc de courbe quelconque. Soient donc
et
les valeurs de la constante des forces vives aux deux extrémités
de cet arc.
Cet arc n’est autre chose que la figure que nous appelions
dans le Chapitre précédent ; quand cette figure se déforme pour