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FORMATION DES INVARIANTS.

On aura donc

(18)

$\mathrm {M} _{1}\mathrm {H} _{1}+\mathrm {M} _{2}\mathrm {H} _{2}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {H} _{3}+\mathrm {M} _{4}\mathrm {H} _{4}=0.$

Cette relation (18) devra être identique, car le coefficient de $\xi _{k}$ est un des déterminants du Tableau T que je suppose identiquement nuls.

Nous aurions donc là une relation de la forme (6 ter), ce qui est contraire à notre hypothèse, à moins que l’on n’admette que tous les $\mathrm {M}$ ne soient identiquement nuls.

Si tous les mineurs du premier ordre du Tableau T sont identiquement nuls, formons les mineurs du second ordre.

Soient $\mathrm {M} _{1}',\,\mathrm {M} _{2}',\,\mathrm {M} _{3}'$ trois de ces mineurs obtenus en prenant dans le Tableau trois colonnes quelconques et en y supprimant les lignes 1 et 4 pour $\mathrm {M} _{1}',$ 2 et 4 pour $\mathrm {M} _{2}',$ 3 et 4 pour $\mathrm {M} _{3}'.$

Il viendra

(19)

$\mathrm {M} _{1}'\mathrm {H} _{1}+\mathrm {M} _{2}'\mathrm {H} _{2}+\mathrm {M} _{3}'\mathrm {H} _{3}=0.$

Cette relation doit même être identique ; car le coefficient de $\xi _{k}$ dans le premier membre est un des mineurs du premier ordre de T que je suppose tous identiquement nuls.

Ce serait donc encore une relation de la forme (6 ter), à moins que l’on ne suppose que tous les mineurs du second ordre $\mathrm {M} '$ ne soient identiquement nuls.

S’il en est ainsi, il viendra identiquement

$\mathrm {B} _{i2}\mathrm {H} _{1}-\mathrm {B} _{i1}\mathrm {H} _{2}=0,$

ce qui est encore une relation de la forme (6 ter).

Il ne peut donc arriver que tous les déterminants du Tableau T s’annulent identiquement. Nous aurons donc au moins une relation (et, par conséquent, un système de relations invariantes), à laquelle toutes les solutions singulières des équations (1) devront satisfaire.

On pourrait conclure immédiatement que toutes les solutions des équations (1) ne peuvent être singulières.

Mais ce n’est pas tout ; nous pouvons élargir notre définition des solutions singulières.

Nous venons de définir les solutions singulières par rapport à