aux et dont les coefficients seront des fonctions des définies seulement pour les valeurs de qui correspondent à une solution périodique.
Il reste à savoir si le choix peut être fait de telle façon que les coefficients de soient des fonctions algébriques des ou même des fonctions continues des Je pose le problème sans chercher pour le moment à le résoudre.
Cherchons maintenant les invariants du deuxième ordre, c’est-à-dire ceux qui ont la forme d’une intégrale double
où est une fonction linéaire des produits (les coefficients de cette fonction linéaire étant bien entendu des fonctions des ). Ces invariants du second ordre auront la signification suivante :
Reprenons les équations (1) et (2) (nous conserverons toujours le numérotage du no 257) et formons en outre les équations
(2 a) |
Elles nous conduiront à des équations analogues à (5) et que j’écrirai
(5 a) |
Elles ne différeront d’ailleurs des équations (5) que parce que les lettres y sont accentuées.
Les invariants du second ordre correspondront alors, d’après le Chapitre précédent, à celles des intégrales de (1), (2) et (2 a) qui sont linéaires par rapport aux déterminants
et algébriques par rapport aux
Soit
une de ces intégrales ; si l’on y remplace les par les valeurs qui correspondent à une solution périodique, on obtiendra une équa-