Page:Henri Poincaré - Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 1895.djvu/98

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' "PROBLÈME-DE L ARMILLE 89 assez grande pour que p„ qui, d'ailleurs, ne dépend pas de /, soit aussi petit qu'on veut. Donc la série U est uniformé- ment convergente par rapport à / ; la somme de cette série est donc une fonction continue de /. Or, pour / "=' o, elle se réduit à/" (x). Donc, quand t tend vers zéro, U tend vers f [x). 50. En général, pour 7 = o, la série ne sera fonction holo- morphe ni de ce ni de t. En effet, pour t= o, un peut se donner arbitrairement-la fonction f Ix) ; par conséquent, elle peut être discontinue, et U ne sera pas alors une fonction holo- morphe dbas. Pourvoir que U n'est pas, en général, fonction holomorphe de l, choisissons f(x) de façon que l'on ait : f (x) ayant des valeurs quelconques quand x est compris entre — 7t-et"0. Pour />oon ne pourra plus avoir une telle distribution, c'est-à-dire qu'il ne pourra pas arriver que U soit constam- mentnul dans un intervalle fini, car on a démontré que U était alors une fonction holomorphe de:ajj et on sait qu'une fonction holomorphe ne peut être nulle dans un intervalle fini, si petit qu'il soit, sans être identiquement nulle. L'équation différentielle : nous donne, par différentiations successives: