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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

si le point $\mathrm {P}$ est extérieur à la sphère, et

$r_{1}=b,\qquad \qquad r_{2}=2a-b,$

si le point $\mathrm {P}$ est intérieur à la sphère.

2^o Il y a un écran ; le point $\mathrm {Q} ,$ pôle du point $\mathrm {P} ,$ n’est pas sur l’écran, mais le point diamétralement opposé appartient à l’écran.

Alors $r_{1}=b\,;$ et la limite supérieure $r_{2},$ qui est en général une fonction de $\varphi ,$ est la valeur de $r$ qui correspond au bord de l’écran.

3^o Il y a un écran ; le point $\mathrm {Q}$ appartient à l’écran et le point diamétralement opposé n’en fait pas partie.

Alors $r_{2}=2a\pm b$ et $a_{1}$ est la valeur de $r$ qui correspond au bord de l’écran.

Appelons $\mathrm {J}$ l’intégrale

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\,d\varphi$

prise le long du bord de l’écran, et soient $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ les valeurs de ${\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}$ au point $\mathrm {Q}$ et au point diamétralement opposé.

Nous aurons :

dans le premier cas	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(2\pi \mathrm {X} ''-2\pi \mathrm {X} '\right),$
dans le second	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(\mathrm {J} -2\pi \mathrm {X} '\right),$
dans le troisième	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(2\pi \mathrm {X} ''-\mathrm {J} \right).$

Nous verrons plus loin que $\mathrm {J}$ est généralement négligeable.