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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

lèle au plan de l’onde. Nous savons que $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne dépendent alors que de $z$ et de $t,$ et qu’il résulte de la condition de transversalité que $\zeta$ est identiquement nul. La densité étant supposée constante à l’intérieur d’une sphère de rayon égal au rayon d’activité moléculaire, $\rho$ sera indépendant des déplacements $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ et sera seulement fonction des coordonnées de la position d’équilibre de la molécule considérée. Comme nous voulons seulement pour le moment faire voir l’influence de la périodicité et montrer qu’elle suffit pour expliquer la dispersion nous supposerons pour simplifier, que $\rho$ est une fonction périodique de $z$ seulement, et par conséquent qu’on la peut développer en série trigonométrique. Nous poserons

$\rho =\mathrm {L} _{0}+\mathrm {L} _{1}\cos z+\ldots +\mathrm {M} _{1}\sin z+\mathrm {M} _{2}\sin 2z+\ldots$

Démontrons que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction périodique $\varphi$ soit la dérivée d’une fonction périodique $\psi ,$ est que la valeur moyenne de $\varphi$ soit nulle. Pour cela développons $\varphi$ en série trigonométrique, nous aurons

$\varphi =a_{0}+a_{1}\cos z+a_{2}\cos 2z+\ldots +b_{1}\sin z+b_{2}\sin 2z+\ldots$

Si nous donnons à $z$ toutes les valeurs possibles, les fonctions sinus et cosinus qui entrent dans ce développement prendront une infinité de valeurs comprises entre $+1$ et $-1\,:$ la valeur moyenne de ces fonctions sera donc nulle, et, par conséquent, la valeur moyenne de $\varphi$ se réduit à $a_{0}.$ L’intégrale indéfinie de $\varphi$ sera

$\psi =c+a_{0}z+a_{1}\sin z+a_{2}\sin 2z+\ldots -b_{1}\cos z-b_{2}\cos 2z-\ldots$

Quand la valeur moyenne $a_{0}$ de $\varphi$ est nulle, cette intégrale est une fonction périodique de $z.$ La condition énoncée est donc