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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

ces quantités, c’est-à-dire à une fonction linéaire de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et de leurs dérivées.

D’ailleurs, dans certains cas, cette fonction se simplifie. Si d’abord nous prenons le plan de l’onde pour plan des $xy\,;$ les dérivées par rapport à $z$ entreront seules dans les milieux isotropes. De plus $\xi _{1}$ ne contient ni $\eta$ ni $\zeta .$ En effet, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on y remplace $y$ et $\eta$ par $-y$ et $-\eta .$ Si l’on fait cette substitution dans l’équation (3), le premier membre ne change pas ; l’ensemble des deux premiers termes du second membre conservant aussi la même valeur, il faut que ${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}$ ne change pas. Cette dérivée, et, par suite $\xi _{1},$ ne doivent donc pas contenir $\eta ,\,{\frac {d\eta }{dz}},\dots .$ Un raisonnement analogue montrerait que $\xi _{1}$ ne doit pas contenir $\zeta .$ Par conséquent $\xi _{1}$ se réduit à une fonction linéaire de $\xi$ et de ses dérivées. Encore toutes les dérivées n’entrent pas, car l’origine étant centre de symétrie, les équations ne doivent pas changer quand on change les signes de $x,$ $y,$ $z,$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ ce qui exige que les dérivées d’ordre impair disparaissent de ${\frac {d^{2}\xi _{1}}{dt^{2}}}$ et, par suite, de $\xi _{1}.$

141. Cherchons l’intégrale de l’équation (3) dans le cas d’une onde plane se propageant dans un milieu isotrope. Les dérivées de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ par rapport à $x$ et à $y$ étant alors nulles, $\xi _{1}$ se réduira à une fonction linéaire de $\xi$ et des dérivées de $\xi$ d’ordre pair par rapport à $z.$ En négligeant les dérivées d’ordres supérieurs au troisième, nous aurons

$\xi _{1}=a\xi +b\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}\,;$

et, en portant cette valeur de $\xi _{1}$ dans l’équation (3) elle