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DOUBLE RÉFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

aurons :

${\begin{aligned}\mathrm {F} =-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\alpha \xi _{z}'\xi _{z}''}{d\xi '_{z}}}&+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}{\frac {d\alpha \xi _{z}'\xi _{z}''}{d\xi _{z}''}}+\dots \\[1.5ex]\mathrm {F} =-{\frac {d}{dz}}\alpha \xi _{z}''&+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\alpha \xi '_{z}+\dots ,\\\end{aligned}}$

ou

$\mathrm {F} =-\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\ldots$

Par conséquent le seul terme de $\mathrm {W} _{2}$ pouvant donner un terme en ${\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}$ dans la première équation en donne deux qui se détruisent. On verrait de la même manière que ${\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}$ ne doit pas entrer dans la seconde équation. On a donc pour ces équations

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+\beta \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=c\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-\beta \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}\\\end{aligned}}$

194. Vitesses de propagation. — Cherchons à satisfaire à ces équations en posant

$\xi =\mathrm {A} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)},\qquad \eta =\mathrm {B} e^{{\frac {2i\pi }{\lambda }}(z-\mathrm {V} t)}.$

Nous obtiendrons en substituant et divisant par ${\frac {2i\pi }{\lambda }},$

${\begin{aligned}\mathrm {AV} ^{2}&=a\mathrm {A} +{\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {B} ,\\[1.5ex]\mathrm {BV} ^{2}&=c\mathrm {B} -{\frac {2i\pi }{\lambda }}\beta \mathrm {A} \,;\\\end{aligned}}$