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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Supposons maintenant le plan $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ imaginaire. L’équation de ce plan pourra se mettre sous la forme $\mathrm {P} +i\mathrm {Q} =0,$ les plans $P=0$ et $Q=0$ étant les plans bissecteurs du plan imaginaire et de son conjugué. Prenons $\mathrm {P} =0$ pour plan des $yz,$ $Q=0$ pour plan des $xy\,:$ l’équation du plan de l’onde devient

$\alpha x+i\varepsilon z=0.$

La condition $\Theta =0$ donne, dans ce cas,

$\mathrm {A} \alpha +\mathrm {C} i\varepsilon =0.$

relation qui montre que le rapport ${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }}$ est imaginaire. À cause de la périodicité du mouvement lumineux on a

$\delta ^{2}=-{\frac {4\pi ^{2}}{\tau ^{2}}}.$

et la condition $\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)$ donne

$-{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}=\alpha ^{2}-\varepsilon ^{2}.$

Il en résulte que $\varepsilon$ doit être plus grand que $\alpha .$ La solution de la première équation du mouvement est

$\xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x+i\varepsilon z+{\frac {2i\pi t}{\tau }}+i\varphi }.$

En en prenant la partie réelle, on obtient, pour le déplacement $\xi$ suivant l’axe des $x,$

$\xi =\mathrm {A} _{0}e^{\alpha x}\cos \left(\varepsilon z+\varphi +{\frac {2\pi t}{\tau }}\right).$

On aurait deux expressions analogues pour les composantes $\eta$ et $\zeta$ du déplacement suivant les deux autres axes.