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nombre premier donné. Considérons le système des fonctions rationnelles entières de $x$, qui peuvent être mises sous la forme

${\frac {\mathrm {G} (\mathrm {X} _{1},\ldots ,\mathrm {X} _{m})}{p^{h}}}$,

où $\mathrm {G}$ désigne une fonction rationnelle entière de ses arguments $\mathrm {X} _{1},\ldots ,\mathrm {X} _{m}$ et où $p^{h}$ est une puissance quelconque du nombre premier $p$. Des recherches que j’ai publiées autrefois dans les Math. Annalen, t. XXXVI, p. 485, font voir immédiatement que toutes les expressions de cette nature forment, pour chaque exposant déterminé $h$, un domaine fini d’intégrité ; mais il s’agit ici de savoir s’il en est de même pour tous les exposants $h$, c’est-à-dire qu’il s’agit de savoir si l’on peut choisir un nombre fini de pareilles expressions au moyen desquelles toute autre expression de cette forme peut être exprimée d’une manière entière et rationnelle pour un exposant $h$ quelconque.

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Je mentionnerai maintenant deux problèmes qui font partie de ce domaine intermédiaire qui confine à l’Algèbre et à la Géométrie : l’un est relatif à la Géométrie énumérative, l’autre à la Topologie des courbes et des surfaces algébriques.

XV. — Établissement rigoureux de la Géométrie énumérative de Schubert.

Le problème est le suivant :

Détermination rigoureuse des nombres de la Géométrie énumérative, et cela en fixant d’une manière plus précise les limites de leur validité, et, en particulier, des nombres que Schubert^[1] a trouvés en s’appuyant sur le principe de son calcul énumératif, dit de la position spéciale ou de la conservation du nombre.

Bien que l’Algèbre moderne regarde, en principe, comme pos-

1. Kalcul der Abzählenden Geometrie. Leipzig ; 1879.