que la théorie des équations différentielles linéaires gagnerait essentiellement en unité si l’on parvenait à résoudre d’une manière générale le problème que je viens d’indiquer.
XXII. — Relations analytiques exprimées d’une manière uniformes au moyen de fonctions automorphes.
On sait que M. Poincaré a démontré le premier qu’une relation algébrique quelconque entre deux variables peut toujours être exprimée d’une manière uniforme au moyen de fonctions automorphes d’une variable ; autrement dit, étant donnée une équation algébrique entre deux variables, on peut toujours trouver pour ces dernières des fonctions uniformes automorphes d’une variable qui, portées dans l’équation algébrique, la vérifient identiquement. L’extension de ce théorème fondamental à des relations quelconques non algébriques, mais analytiques, entre deux variables, a été faite avec grand succès par M. Poincaré[1], et cela par une voie tout autre que celle qui l’avait conduit au but dans la question antérieure du cas algébrique.
Mais la démonstration par laquelle M. Poincaré fait voir qu’il est possible d’exprimer d’une manière uniforme une relation analytique quelconque entre deux variables ne nous montre pas encore si l’on peut choisir les fonctions uniformes de la nouvelle variable, de telle sorte que, tandis que cette variable parcourt le domaine régulier de ces fonctions, on obtienne une représentation effective de l’ensemble de tous les points réguliers de la fonction analytique donnée.
Au contraire, il semblerait, d’après les recherches de M. Poincaré, que, abstraction faite des points de ramification, on doit encore, en général, mettre de côté une infinité de points isolés de la fonction analytique donnée, que l’on obtient seulement quand la nouvelle variable tend vers certains points limites des fonctions. Un éclaircissement et une solution de ces difficultés me paraissent
- ↑ Bulletin de la Soc. Math. de France, t. XI ; 1883.
