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semble, d’une importance capitale au point de vue des principes fondamentaux du Calcul des variations. En effet, la valeur de l’intégrale $\mathrm {J} ^{*}$ étant indépendante du chemin d’intégration, on aura

(3)

$\int _{a}^{b}[\mathrm {F} (p)+(\mathrm {J} _{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p)]\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx$,

où dans le premier membre l’intégrale est prise le long d’un chemin $y$ quelconque, tandis que l’on supposera l’intégrale du second membre prise le long d’une courbe intégrale ${\overline {y}}$ de l’équation différentielle

${\overline {y_{x}}}=p(x,{\overline {y}})$.

À l’aide de l’équation (3) nous parvenons à la formule de Weierstrass

(4)

$\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x})\,dx-\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {E} (y_{x},p)\,dx$,

où $\mathrm {E}$ désigne l’expression de Weierstrass

$\mathrm {E} (y_{x},p)=\mathrm {F} (y_{x})-\mathrm {F} (p)-(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p)$,

dépendant des quatre arguments $y_{x},p,y,x$. Comme, d’après cela, tout revient uniquement à border la courbe intégrale ${\overline {y}}$ en question, dans le plan des $x,y$, d’une manière continue et univoque, avec des valeurs d’une fonction intégrale correspondante ${p(x,y)}$, les développements indiqués conduisent évidemment, et cela sans introduire la considération de la variation seconde et en effectuant simplement l’opération polaire^[1] sur l’équation différentielle (1), à l’établissement de la condition de Jacobi, et fournissent la réponse à la question de savoir jusqu’à quel point la condition de Jacobi, jointe à la condition ${\mathrm {E} >0}$ de Weierstrass, est nécessaire et suffisante pour qu’il existe un minimum.

1. Pour la définition de cette opération, voir le compte rendu de M. Meyer Sur la Théorie des invariants (Jahresbericht der D. M. V., t. I, p. 199), ou encore le même, Traduction de M. Fehr, dans le Bulletin de M. Darboux, t. XIX, p. 24 ; 1895. (L. L.)