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décrire eſt à la diſtance des foyers ; ayant décrit enſuite sur le diamètre $Kk$ un cercle qui coupe en $H$ la droite $VR$ prolongée, tracez une trajectoire dont les foyers soient $S$ & $H,$ & qui ait pour axe principal une ligne égale à $VH,$ & le Problème ſera réſolu.

Car il eſt clair, par ce qui a été démontré dans le fécond cas, que $VH:SH::VK:SK,$ & par conſéquent comme l’axe principal de la trajectoire à décrire eſt à la diſtance entre ses foyers, la trajectoirc décrite ſera donc de même espece que la trajectoirc à décrire. De plus, il eſt clair par les coniques, que cette trajectoirc ſera touchée au point $R$ par la droite $TR$ qui coupe l’angle $VRS,$ en deux parties égales.$\qquad C.Q.F.F.$

Cas ${\mathfrak {4}}.$ Fig 36. & 37.Soit enfin propoſé de décrire autour du foyer $S$ la trajectoire $APB$ qui soit touchée par la droite $TR,$ & qui paffe par un point quelconque $P$ donné hors de la tangente, & qui soit ſemblable à la Figure $apb$ décrite des foyers $s,h,$ & ſur l’axe principal $ab.$

Abaiſſez sur la tangente $TR$ la perpendiculaire $ST,$ & prolongez-la en $V,$ en ſorte que $TV=ST.$ Faites les angles $hsq,$${\displaystyle }$ $shq$ reſpectivement égaux aux angles $VSP,SPV,$ du centre $q$ & d’un intervalle qui ſoit à $ab,$ comme $SP$ à $VS,$ décrivez un cercle qui coupe la figure $apb$ en $p,$ joignez les points $s$ & $p$ & tirez $SH$ qui soit à $ab,$ comme $SP$ à $sp,$ & qui faſſe l’angle $PFH$ égal à l’angle $psh,$ & l’angle $VSH$ égal à l’angle $psq.$ Enfuite, des foyers $H$ & $F$ sur l’axe principal $AB$ égal à la diſtance $VH,$ décrivez la ſection conique, & le Problème ſera réſolu.

Car ſi on tire $sv$ qui soit à $sp,$ comme $sh$ à $sq,$ & qui faſſe l’angle $vsp$ égal à l’angle $hsq,$ & l’angle $vsh$ égal à l’angle $psq,$ les triangles $svh,spq$ ſeront ſemblables, & par conſéquent on aura $vh:pq::sh:sq,$ c’eſt-à-dire, à cauſe des triangles ſemblables $VSP:hsq::SV:SP$ ou $ab:pq.$ Donc $vh=ab.$ De plus, à cauſe des triangles ſemblables $VSH,vsh$ $VH:SH::vh:sh,$ c’eſt-à-dire, que l’axe de la ſection conique