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CINQUIÉME SECTION.

De la détermination des Orbites lors qu’aucun des foyers n’eſt donné.

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LEMME XVII.

Si d’un point quelconque $P$ d’une Section conique donnée, on mène les quatre droites $PQ$, $PR$, $PS$, $PT$, qui faſſent chacune un angle donné avec chacun des quatre côtés indéfiniment prolongés $AB$, $CD$, $AC$, $DB$ d’un trapeze quelconque $ABCD$ Fig. 41. inſcrit dans la ſection conique, le rectangle des droites $PQ\times PR$ tirées à deux côtés oppoſés, ſera en raison donnée au rectangle des droites $PS\times PT$ tirées aux deux autres côtés oppoſés.

Cas I. Suppoſons premierement que les lignes tirées aux côtés oppoſés ſoient paralleles à l’un ou à l’autre des côtés reſtans, que $PQ$ & $PR$, par éxemple, ſoient paralleles au côté $AC$, & $PS$ & $PT$ au côté $AB$ ; de plus, que deux de ces côtés oppoſés comme $AC$ & $BD$ ſoient paralleles l’un à l’autre. Dans ce cas, la droite qui coupe ces côtés paralleles en deux parties égales, fera un des diametres de la ſection conique, & coupera auſſi la Fig. 41. ligne $RQ$ en deux parties égales. Soit $O$ la rencontre de ce diametre & de $RQ$, $PO$ ſera une ordonnée à ce même diametre, & $OK$ priſe égale à $OP$, & placée ſur ſon prolongement fera l’ordonnée oppoſée. Les points $A$, $B$, $P$ & $K$ étant donc à la ſection conique, il eſt clair (Prop. 17. 19. 21. 23. du Liv. III. des coniques d'Apollonius) à cauſe que $PK$ coupe $AB$ ſous un angle donné, que le rectangle $PQ\times QK$ ſera en raiſon donnée au rectangle $AQ\times QB$. Mais $QK=PR$, puiſque ces lignes ſont les différences des lignes égales $OK$, $OP$ & $OQ$, $OR$ ; donc les rectangles $PQ\times QK$, & $PQ\times PR$ ſont auſſi égaux ; & par