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substitution $\mathrm {B}$. Le sens des notations $\mathrm {A} ^{2},\mathrm {A} ^{3},\ldots$ se trouve ainsi expliqué. $\mathrm {A} ^{-1}$, sera la substitution qui, multipliée par $\mathrm {A}$, reproduit l’unité.

27. On dira qu’un système de substitutions forme un groupe (ou un faisceau) si le produit de deux substitutions quelconques du système appartient lui-même au système. Les diverses substitutions obtenues en opérant successivement tant qu’on voudra et dans un ordre quelconque certaines substitutions données $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\ldots$ forment évidemment un groupe : nous l’appellerons le groupe dérivé de $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\ldots$ et nous le désignerons par le symbole $(\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\ldots )$.

28. L’ordre d’un groupe est le nombre de ses substitutions : son degré est le nombre des lettres soumises à ses substitutions.

29. Considérons en particulier le groupe $\mathrm {A} ,\mathrm {A} ^{2},\mathrm {A} ^{3},\ldots ,\mathrm {A} ^{m},\ldots$ des substitutions dérivées d’une seule substitution $\mathrm {A} =(ab\ldots k)(a'b'\ldots k')\ldots$. Soient respectivement $l,l',\ldots$ les nombres des lettres de chacun des cycles de $\mathrm {A}$, $\mu$ leur plus petit multiple ; l’ordre de ce groupe sera égal à $\mu$ En effet, la substitution $\mathrm {A} ^{m}$ remplace chaque lettre, telle que $a$, par celle qui la suit de $m$ rangs dans son cycle. $\mathrm {A} ^{\mu }$ sera donc la première substitution de la suite $\mathrm {A} ^{2},\ldots$ qui se réduise à l’unité. D’ailleurs les substitutions $\mathrm {A} ^{2},\mathrm {A} ^{3},\ldots ,\mathrm {A} ^{\mu }$ seront toutes distinctes ; car si l’on avait $\mathrm {A} ^{\lambda }=\mathrm {A} ^{\lambda '}$, on aurait $\mathrm {A} ^{\lambda -\lambda '}=1$, ce qui est impossible, $\lambda$ et $\lambda '$ étant $<\mu$. Les puissances suivantes $\mathrm {A} ^{\mu +1},\mathrm {A} ^{\mu +2},\ldots$ reproduiront périodiquement la suite $\mathrm {A} \ldots \mathrm {A} ^{\mu }$.

Nous dirons dans la suite pour abréger que $\mu$ est l’ordre de la substitu- tion $\mathrm {A}$. Mais, pour parler exactement, on devrait dire que c’est l’ordre du groupe dérivé de $\mathrm {A}$.

30. Si $\mathrm {A}$ est une substitution dont l'ordre $\mathrm {D}$ soit un nombre composé tel que $d\delta$, la substitution $\mathrm {A} ^{\delta }$ sera d’ordre $d$. En effet, la suite de ses puissances $\mathrm {A} ^{\delta },\mathrm {A} ^{2\delta },\ldots ,\mathrm {A} ^{d\delta },\ldots$ se reproduira périodiquement au delà de $\mathrm {A} ^{d\delta }$. On peut toujours prendre pour $d$ un diviseur premier de $\mathrm {D}$, et l’on voit ainsi que d’une substitution quelconque donnée $\mathrm {A}$ on déduit, en la répétant convenablement, une substitution d’ordre premier.

31. Soit en général $\mathrm {D} =p^{\alpha }q^{\beta }r^{\gamma }\ldots$, $p,q,r,\ldots$ étant des facteurs premiers différents. Les substitutions $\mathrm {A} ^{\frac {\mathrm {D} }{p^{\alpha }}}=A_{1},\mathrm {A} ^{\frac {\mathrm {D} }{q^{\beta }}}=A_{2},\mathrm {A} ^{\frac {\mathrm {D} }{r^{\gamma }}}=A_{3},\ldots$ sont respectivement d’ordre $p^{\alpha },q^{\beta },r^{\gamma }\ldots$, et font toutes partie du groupe dérivé de $\mathrm {A}$. Réciproquement, $\mathrm {A}$ dérive de ces substitutions combinées entre elles, car