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ADDITION À LA NOTE DES PAGES 37 À 39.

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Si l’on n’avait à considérer que des écoulements bien continus, il y aurait une variable meilleure encore que le rayon moyen, pour exprimer tout à la fois l’influence, sur la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ de la grandeur et de la forme de la section ; ce serait le quotient de la section $\sigma$ du tube par le rayon de gyration de celle-ci autour d’un axe normal à son plan et issu de son centre de gravité, c’est-à-dire par la longueur $\mathrm {J}$ que définit la formule $\sigma \mathrm {J} ^{2}=\int _{\sigma }r^{2}\ d\sigma =\int _{\sigma }\left(y^{2}+z^{2}\right)\ d\sigma .$

Des quadratures assez faciles donnent pour ce rayon de gyration $\mathrm {J} ,$ dans les quatre cas du triangle équilatéral, du carré, du cercle et du rectangle infiniment large, des valeurs égales au contour $\chi$ divisé respectivement par les quatre nombres

$6{\sqrt {3}}=10,392,\quad 4{\sqrt {6}}=9,978,\quad 2\pi {\sqrt {2}}=8,886,4{\sqrt {3}}=6,928.$

En introduisant, d’après ces valeurs, $\mathrm {J}$ au lieu de $\chi$ dans la formule de $\mathrm {U} ,$ qui est ${\tfrac {1}{\gamma }}{\tfrac {\rho g\sigma ^{2}}{\varepsilon \chi ^{2}}}\mathrm {I} ,$ il vient :

$\mathrm {U} ={\frac {1}{\gamma '}}{\frac {\rho g}{\varepsilon }}\left({\frac {\sigma }{\mathrm {J} }}\right)^{2}\mathrm {I} ,$

avec les quatre valeurs respectives suivantes du nouveau paramètre $\gamma '\ :$

${\begin{aligned}\gamma '=36.5=180,\quad \gamma '=(1,778\ldots )(96)=170,69,\\\gamma '=16\pi ^{2}=157,91,\quad \gamma '=36.4=144.\end{aligned}}$

On voit que l’inverse de $\gamma ',$ ou le coefficient auquel la nouvelle formule fait la vitesse $\mathrm {U}$ proportionnelle, grandit seulement dans le rapport de 4 à 5, quand la section devient rectangulaire large, de triangulaire équilatérale, en passant par les formes carrée et circulaire. Et l’on trouve que ce coefficient serait même absolument constant dans les sections elliptiques, qui, toutes, donnent $\gamma '=16\pi ^{2}$ comme le cercle. Il est donc bien moins variable que l’inverse de $\gamma ,$ et l’on pourrait, avec quelque approximation, le prendre, pour toutes les formes usuelles de la section, égal à la moyenne arithmétique de ses deux valeurs extrêmes obtenues ${\tfrac {1}{36.5}},$ ${\tfrac {1}{36.4}},$ moyenne qui est ${\tfrac {1}{160}},$ ou qui revient à poser $\gamma '=160.$ M. de Saint-Venant avait déjà indiqué, dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences (t. LXXXVIII, p. 142 ; 27 janvier 1879), une formule approximative analogue pour le moment de torsion d’un prisme élastique isotrope. Or, la détermination d’un tel moment de torsion constitue un problème analytique revenant justement à celui de l’écoulement uniforme bien