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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

CHAPITRE I.

Formules générales pour la variation des constantes arbitraires, dans le mouvement d’un système quelconque de corps, produite par des impulsions finies et instantanées ou par des impulsions infiniment petites et continuelles.

5. En nommant $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ les variables indépendantes auxquelles on aura réduit toutes les coordonnées $x,y,z$ des corps du système, par le moyen des équations de condition dépendantes de la liaison des corps, on pourra toujours exprimer chaque constante par une fonction donnée de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et des différentielles ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\ldots .$ Or les variables finies $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ ne dépendent que de la position instantanée des corps dans l’espace et ne peuvent, par conséquent, subir aucun changement par les impulsions étrangères ; il n’y aura donc que les différentielles ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}}$ dont les valeurs ourront être changées par ces impulsions.

Supposons qu’elles deviennent+ ${\frac {d\xi }{dt}}+{\dot {\xi }},\,{\frac {d\psi }{dt}}+{\dot {\psi }},\,{\frac {d\varphi }{dt}}+{\dot {\varphi }},\ldots \,;$ les accroissements ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots$ seront dus aux impulsions ; ce seront les vitesses, suivant les coordonnées $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ que les impulsions produiraient dans le premier instant, et qu’il s’agit de déterminer.

Soient $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ les forces d’impulsion appliquées à chaque corps $\mathrm {m}$ du système, suivant les directions des lignes $\mathrm {p,\,q,\,r} ,\ldots ,$ et tendantes à les diminuer, et soient ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ les vitesses initiales qui en résulteraient dans ce corps, suivant les directions de ses coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ et dans le sens où ces coordonnées augmentent, si tout le système était en repos ; on aura, par l’article 11 de la Section II, l’équation

_S$\mathrm {m} \left({\dot {x}}\delta x+{\dot {y}}\delta y+{\dot {z}}\delta z\right)-$_S$\mathrm {\left(P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\ldots \right)} =0,$

laquelle doit se vérifier indépendamment des variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ de chacune des variables indépendantes. Il n’y aura donc qu’à substi-