Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/180

172

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

tuer dans cette équation les valeurs de $x,\,y,\,z$ et de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ en remarquant que les vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ peuvent s’exprimer, comme toutes les vitesses, par ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}.$

Par ces substitutions, on aura la transformée

_S$\!\mathrm {m} \left({\dot {x}}\delta x+{\dot {y}}\delta y+{\dot {z}}\delta z\right)=\Xi \delta \xi +\Psi \delta \psi +\Phi \delta \varphi +\ldots ,$

et si l’on fait, comme dans l’article 62 (Section précédente),

$\delta \Omega =-$_S$\mathrm {\left(P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\ldots \right)} ,$

on aura les équations

$\Xi ={\frac {\delta \Omega }{\delta \xi }},\quad \Psi ={\frac {\delta \Omega }{\delta \psi }},\quad \Phi ={\frac {\delta \Omega }{\delta \varphi }},\quad \ldots ,$

lesquelles seront en même nombre que les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$

Or il est facile de voir que les quantités $\Xi ,\,\Psi ,\,\Phi ,\ldots$ seront des fonctions de $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots$ et de leurs différentielles ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\ldots ,$ et que ces différentielles ne seront autre chose que les vitesses initiales que nous avons désignées ci-dessus par ${\dot {\xi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }},\ldots ,$ et qu’on pourra, par conséquent, déterminer par les équations précédentes.

Comme les quantités ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ sont équivalentes à ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ la quantité ${\dot {x}}\delta x+{\dot {y}}\delta y+{\dot {z}}\delta z$ pourra aussi s’exprimer par

${\frac {dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z}{dt}},$

et il suit de ce que nous avons démontré ci-dessus (art. 2) que si, dans la formule

$\mathrm {T} =$_S$\mathrm {m} {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},$

on substitue pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ et qu’on y change ${\frac {d\xi }{dt}}$ en ${\dot {\xi }},$ ${\frac {d\psi }{dt}}$ en ${\dot {\psi }},$ ${\frac {d\varphi }{dt}}$ en ${\dot {\varphi }},$ on aura, pour les différences par-