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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

variations des constantes arbitraires, je ne m’y arrêterai plus ici j’ajouterai seulement deux remarques sur les formules de cette théorie.

7. La première remarque est relative à la formule générale de l’article 11 de la Section citée, laquelle, en faisant, pour simplifier,

$\mathrm {{\frac {\partial T}{\partial \xi '}}=T',\quad {\frac {\partial T}{\partial \psi '}}=T'',\quad {\frac {\partial T}{\partial \varphi '}}=T'''} ,\quad \ldots ,$

se réduit à

${\begin{aligned}\Delta \Omega dt=&+\mathrm {\Delta \xi \delta T'+\Delta \psi \delta T''+\Delta \varphi \delta T'''} +\ldots \\&-\mathrm {\delta \xi \Delta T'-\delta \psi \Delta T''-\delta \varphi \Delta T'''} -\ldots ,\end{aligned}}$

où la caractéristique $\delta$ indique les variations dues à toutes les constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ devenues variables, mais où la caractéristique $\Delta$ peut se rapporter indifféremment à chacune de ces constantes. En la rapportant d’abord à une quelconque de ces constantes, comme $a,$ et développant les variations indiquées par $\delta ,$ on a tout de suite la formule

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt=[a,b]db+[a,c]dc+[a,k]dk+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\,[a,b]=&+{\frac {\partial \xi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial b}}\ +{\frac {\partial \psi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} ''}{\partial b}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} '''}{\partial b}}+\ldots \\&-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial a}}{\frac {\partial \xi }{\partial b}}\ -{\frac {\partial \mathrm {T} ''}{\partial a}}{\frac {\partial \psi }{\partial b}}\,-{\frac {\partial \mathrm {T} '''}{\partial a}}{\frac {\partial \varphi }{\partial b}}-\ldots ,\\\,[a,c]=&+{\frac {\partial \xi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial c}}\,+{\frac {\partial \psi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} ''}{\partial c}}\,+{\frac {\partial \varphi }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {T} '''}{\partial c}}+\ldots \\&-{\frac {\partial \mathrm {T} '}{\partial a}}{\frac {\partial \xi }{\partial c}}\ -{\frac {\partial \mathrm {T} ''}{\partial a}}{\frac {\partial \psi }{\partial c}}\,-{\frac {\partial \mathrm {T} '''}{\partial a}}{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}-\ldots ,\\\end{aligned}}$

 

et où les valeurs des coefficients $[a,b],\,[a,c],\ldots$ deviennent indépendantes de $t$ après la substitution des valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ en $a,\,b,\,c,\ldots$ et $t.$

On a ainsi les formules auxquelles je suis parvenu d’abord dans le Mémoire sur la théorie de la variation des constantes arbitraires dans les