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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
du temps
et désignant par
leurs variations résultantes des variations de ces constantes, il est clair qu’on a
![{\displaystyle \delta \xi =0,\quad \delta \psi =0,\quad \delta \varphi =0,\quad \delta \xi '={\dot {\xi }},\quad \delta \psi '={\dot {\psi }},\quad \delta \varphi '={\dot {\varphi }},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c969defa0d3400f2ec4a6e5d98fff5126a2190a9)
et comme les différences partielles
ne contiennent que les premières dimensions de
il est facile de voir qu’elles peuvent se réduire à
en regardant
comme fonction de
Ainsi, les équations dont il s’agit deviendront
![{\displaystyle \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \xi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \psi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}={\frac {\delta \Omega }{\delta \varphi }}dt,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b86e6b73f77f978a23fa43202efa3d0f127147)
et l’on aura
![{\displaystyle da={\frac {\partial a}{\partial \xi '}}\delta \xi '+{\frac {\partial a}{\partial \psi '}}\delta \psi '+{\frac {\partial a}{\partial \varphi '}}\delta \varphi '+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb46595f9c8f03fbf36af6fa61373f64c6a4d6df)
où il faudra substituer les valeurs de
tirées de ces équations.
Si l’on change ensuite les différences partielles de
relatives à
en différences partielles relatives aux constantes
on parviendra à des formules semblables à celles de l’article 60 de la Section précédente, dans lesquelles les coefficients de
auront la propriété d’être indépendants du temps
mais la démonstration directe de cette propriété singulière devient très difficile, comme on peut le voir dans le beau Mémoire de M. Poisson sur ce sujet, inséré dans le Tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, et l’on ne se serait peut-être jamais avisé de la chercher si l’on n’avait été assuré d’avance de la vérité de ce théorème[1].
Comme j’ai déjà donné, dans la Section V, une théorie complète des
- ↑ Voir la Note VII à la fin du Ier Volume. Les coefficients de
sont précisément les expressions considérées dans cette Note. On prouve facilement qu’ils sont constants, mais Lagrange a raison de faire observer qu’on se serait difficilement avisé de les chercher a priori. (J. Bertrand.)