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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Faisant ces substitutions dans les équations fondamentales, elles ne contiendront plus que des différences partielles relatives à $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ et $t\ ;$ et si par la nature de la question proposée la variable $\zeta ,$ par exemple, ou les deux variables $\eta$ et $\zeta ,$ sont très-petites vis-à-vis de $\xi ,$ on pourra employer des réductions analogues à celles que nous avons développées dans le numéro précédent.

27. Telles sont les méthodes et les formules principales par lesquelles on peut déterminer rigoureusement les lois du mouvement des fluides. Nous allons maintenant en montrer l’application à quelques cas particuliers.

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SECTION SECONDE.

DU MOUVEMENT DES FLUIDES PESANTS ET HOMOGÈNES DANS DES VASES
OU DES CANAUX DE FIGURE QUELCONQUE.

28. Nous supposerons d’abord que le fluide parte du repos, ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à la surface, moyennant quoi les vitesses $p,$ $q,$ $r$ de chaque particule devront être telles, que

$pdx+qdy+zdz$

soit une différentielle exacte (20) ; de sorte qu’on pourra employer les formules données dans le n^o 16.

29. Soit donc une fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ dépendante de l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0\ ;$

on aura d’abord pour les vitesses $p,q,r$ de chaque particule, suivant les directions des coordonnées $x,y,z,$ ces expressions

$p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.$