Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/729

727

DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Et il faudra, pour que l’équation soit intégrable, que l’on ait ces conditions

$\alpha '={\frac {d\beta }{dx}},\quad \alpha ''={\frac {d\gamma }{dx}},\ldots ,$

moyennant quoi l’équation intégrée sera

$\int \left(\alpha dx+\beta y+\gamma z+\ldots \right)=\mathrm {V} -\Pi .$

26. Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ d’autres variables $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ lesquelles soient des fonctions données de $x,$ $y,$ $z.$

Supposons qu’on ait différentié ces fonctions et qu’on en ait tiré les valeurs $d\xi ,$ $d\eta ,$ $d\zeta ,$ lesquelles seront de cette forme

${\begin{aligned}d\xi &=\lambda \ \ dx+\mu \ \ dy+\nu \ \ dz,\\d\eta &=\lambda '\ dx+\mu '\ dy+\nu '\ dz,\\d\zeta &=\lambda ''dx+\mu ''dy+\nu ''dz,\end{aligned}}$

$\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda '\mu ',\ldots$ étant des fonctions données de <math\xi,\eta,\zeta.</math>

En regardant la quantité $p,$ d’abord comme fonction de $x,y,z,$ et ensuite comme fonction de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ on aura

$dp={\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{dy}}{dy}+{\frac {dp}{dz}}dz={\frac {dp}{d\xi }}{d\xi }+{\frac {dp}{d\eta }}d\eta +{\frac {dp}{d\zeta }}d\zeta .$

Donc, substituant à la place de $d\xi ,$ $d\eta ,$ $d\zeta$ les valeurs précédentes, et comparant les termes affectés de $dx,$ $dy,$ $dz,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}&=\lambda {\frac {dp}{d\xi }}+\lambda '{\frac {dp}{d\eta }}+\lambda ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dy}}&=\mu {\frac {dp}{d\xi }}+\mu '{\frac {dp}{d\eta }}+\mu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dz}}&=\nu {\frac {dp}{d\xi }}\ +\nu '{\frac {dp}{d\eta }}+\nu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\end{aligned}}$

et l’on aura de pareilles formules pour les valeurs de ${\frac {dq}{dx}},$ ${\frac {dq}{dy}},\ldots .$