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et, en général,

$\cos mx=\pm \left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-1\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right],$

le signe supérieur étant pour le cas où $m$ est de la forme $4n+1,$ et l’inférieur pour celui où $m$ est de la forme $4n+3.$

On aura de même, lorsque $m$ est impair,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\sin 1x&=q,\\\sin 3x&=-q\left(1-4p^{2}\right),\\\sin 5x&=q\left(1-12p^{2}+16p^{4}\right),\\\ldots \ldots &.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\sin mx=\pm q\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}p^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}p^{4}\right.$

$\left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right],$

où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.

Soit 2^o $m$ pair ; on aura

(E)

$\left\{{\begin{aligned}\cos 2x=&-\left(1-2p^{2}\right),\\\cos 4x=&1-8p^{2}+8p^{4},\\\cos 6x=&-\left(1-18p^{2}+48p^{4}-32p^{6}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\cos mx=\pm \left[1-{\frac {m^{2}}{2}}p^{2}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}p^{4}\right.$

$\left.-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}p^{6}+\ldots \right].$

Ensuite

(F)

$\left\{{\begin{aligned}\sin 2x=&2pq,\\\sin 4x=&-q\left(4p-8p^{3}\right),\\\sin 6x=&q\left(6p-32p^{3}+32p^{5}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.$

et, en général,

$\sin mx=\pm \left[mp-{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}p^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}p^{5}-\ldots \right]q.$