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d’où l’on tire

$a=y',$

valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne celle-ci

$x^{2}-y'^{2}=0,\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \quad y'=\pm x.$

Cette valeur de $y'$ satisfait aussi à l’équation proposée ; màis c’est une valeur singulière, puisqu’elle n’est pas contenue dans l’équation primitive.

Si l’on cherche l’équation primitive de l’équation du premier ordre

$x^{2}-2ay'+a^{2}=0,$

il est facile de trouver celle-ci

${\frac {x^{3}}{3}}-2ay+a^{2}x+b=0,$

où $b$ est la nouvelle constante arbitraire.

Si maintenant on élimine $a$ de ces deux équations, on aura la suivante

$4x^{2}(y-xy')^{2}-4\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)(y-xy')y'+\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)^{2}=0,$

qui sera par conséquent l’autre équation primitive du premier ordre de la proposée.

On peut donc aussi chercher une équation primitive singulière d’après cette équation-ci, en prenant son équation dérivée relativement à $b,$ et l’on trouvera

$-4(y-xy')y'+2\left(b-{\frac {2x^{3}}{3}}\right)=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {2x^{3}}{3}}+2(y-xy')y'.$

Substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle devient

$4(y-xy')^{2}\left(x^{2}-y'^{2}\right)=0.$