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dition $\mathrm {L} =0,\ \mathrm {M} =0,\ldots .$ Je multiplie par un coefficient variable et indéterminé $\sigma$ la variation ${\overset {.}{s}}\,'-{\overset {.}{u}},$ et j’ajoute à la formule générale ${\overset {.}{\mathrm {V} }}+\lambda {\overset {.}{\mathrm {L} }}+\ldots ,$ j’ai

${\overset {.}{\mathrm {V} }}+\sigma \left({\overset {.}{s}}\,'-u\right)+\lambda {\overset {.}{\mathrm {L} }}+\mu {\overset {.}{\mathrm {M} }}+\ldots .$

Le terme $\sigma {\overset {.}{s}}'$ se transforme en ceux-ci : $(\sigma s)'-\sigma '{\overset {.}{s}}\,;$ et, comme ces termes sont les seuls qui contiennent la variable $s,$ la variation ${\overset {.}{s}}$ donnera d’abord l’équation $\sigma '=0,$ d’où l’on tire $\sigma =a,$ $a$ étant une constante arbitraire.

Ensuite l’autre partie $(\sigma {\overset {.}{s}})',$ qui est une dérivée exacte, donnera dans l’expression de $(\mathrm {U} )$ le terme $\sigma {\overset {.}{s}},$ et dans l’équation aux limites les termes $a\left({\overset {.}{s}}_{1}-{\overset {.}{s}}_{0}\right),$ à cause de $\sigma =a.$ Mais on a, par les conditions du maximum ou minimum relatif, ${\overset {.}{s}}_{1}-{\overset {.}{s}}_{0}=0.$ Donc la valeur de $(\mathrm {U} )$ ne recevra aucun changement.

Il n’y aura donc que la variation $-a{\overset {.}{u}}$ qui devra être ajoutée à la formule générale, ce qui revient à substituer à la place de la fonction $\mathrm {V}$ la fonction $\mathrm {V} -au,$ et à chercher les conditions du maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de $\mathrm {V} -au,$ $a$ étant une constante quelconque arbitraire.

On trouverait de la même manière que si la fonction primitive de $\mathrm {V}$ ne devait être qu’un maximum ou minimum relatif, en supposant que les fonctions primitives de $u$ et de $v$ aient des valeurs déterminées, la question se réduirait au maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de $\mathrm {V} -au-bv,$ $a$ et $b$ étant des constantes arbitraires.

Ce résultat s’accorde, comme l’on voit, avec celui qu’Euler avait trouvé par la considération des variations des ordonnées successives dans les courbes.

Telles sont les formules générales pour la solution des problèmes de maximis et minimis qui dépendent de la méthode des variations, et l’on voit que ces formules s’étendent à tous les cas ; mais dans chaque cas particulier, au lieu d’y appliquer ces formules, il sera quelquefois préférable d’opérer directement sur les fonctions proposées, en suivant la marche que nous venons de tracer.