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sont censées les mêmes que celles que nous avons désignées ci-dessus par ${\overset {.}{x}}_{0},{\overset {.}{y}}_{0},$ parce que ce sont les variations des coordonnées $x,y$ à la première limite ; mais la dérivée $y'$ n’est pas la même que la dérivée $y'_{0},$ quoiqu’elles se rapportent toutes les deux au même point ; car celle-ci se rapporte à la ligne la plus courte, et exprime la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne faitavec l’axe ; au lieu que l’autre se rapporte à la ligne qui sert de limite, et exprime de même la tangente de l’angle que la tangente à cette ligne fait avec le même axe. Nous désignerons cette dérivée par $(y'),$ et, appliquant le chiffre $0$ au bas de chaque lettre pour la rapporter à la première limite, l’équation précédente deviendra

${\overset {.}{y}}_{0}-\left(y'\right)_{0}{\overset {.}{x}}_{0}=0.$

Telle est l’équation de condition qui doit avoir lieu entre les variations ${\overset {.}{y}}_{0}$ et ${\overset {.}{x}}_{0}\,;$ ainsi, substituant dans l’équation

$y'_{0}{\overset {.}{y}}_{0}+{\overset {.}{x}}_{0}=0$

de la première limite la valeur de ${\overset {.}{y}}_{0}$0 tirée de l’équation précédente, on aura

$\left[y'_{0}\left(y'\right)_{0}+1\right]{\overset {.}{x}}=0,$

et par conséquent

$y'_{0}\left(y'\right)_{0}+1=0.$

Or, $y'_{0}$ et $\left(y'\right)_{0}$ étant les tangentes de deux angles, on sait que la tangente de la différence de ces angles est exprimée par la formule ${\frac {y'_{0}-\left(y'\right)_{0}}{1+y'_{0}\left(y'\right)_{0}}}\,;$ donc, puisque ici le dénominateur devient nul, et par conséquent la tangente infinie, il s’ensuit que la différence des deux angles dont il s’agit sera égale à un angle droit.

D’où il est aisé de conclure que les deux lignes, celle qui doit être la plus courte et celle qui forme sa première limite, doivent se couper à angles droits.

Et, comme l’équation à la seconde limite est tout à fait semblable à l’équation pour la première, on trouvera nécessairement le même résultat relativement à la seconde limite ; c’est-à-dire que la ligne la plus