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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On appliquera ensuite les mêmes raisonnements à la partie de l’équation générale qui est hors du signe _S et l’on en tirera des conclusions analogues.

41. Si le fil couché sur la surface donnée n’était tendu que par des forces appliquées à ses extrémités, on aurait $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ $\mathrm {Z} =0,$ et, par conséquent, $d\lambda =0$ (art. 30) ; donc $\lambda$ est égal à une constante. Ainsi la tension du fil serait partout la même (art. 31), ce qui s’accorde avec ce qu’on sait d’ailleurs. Dans ce cas, la formule générale de l’équilibre du fil se réduirait à

$\lambda$_S$\delta ds+$_S$\mu (\delta z-p\delta x-q\delta y)=0,$

dont le premier terme est la même chose que $\lambda \delta$_S$ds$ ou $\lambda \delta s.$ Ainsi cette équation exprime que la longueur de la courbe formée par le fil sur la surface représentée par l’équation $dz-pdx-qdy=0$ doit être un maximum ou un minimum ; et la pression exercée par le fil sur chaque point de cette surface sera alors

$\lambda {\cfrac {\sqrt {\left(d{\cfrac {dx}{ds}}\right)^{2}+\left(d{\cfrac {dy}{ds}}\right)^{2}+\left(d{\cfrac {dz}{ds}}\right)^{2}}}{ds}}.$

Or on sait que ${\sqrt {\left(d{\frac {dx}{ds}}\right)^{2}+\left(d{\frac {dy}{ds}}\right)^{2}+\left(d{\frac {dz}{ds}}\right)^{2}}}$ exprime l’angle de contingence de la courbe, lequel est égal à ${\frac {ds}{\rho }},$ en nommant $\rho$ le rayon osculateur. Ainsi la pression sera égale à ${\frac {\lambda }{\rho }}$ et, par conséquent, en raison inverse du rayon osculateur.

§ II. — De l’équilibre d’un fil, ou d’une surface flexible et en même
temps extensible et contractible.

42. Jusqu’ici nous avons supposé que le fil était inextensible ; regardons-le maintenant comme un ressort capable d’extension et de con-