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Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/224

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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

lequel est formé par l’accroissement que la coordonnée reçoit tandis que les deux autres, et ne varient pas, il faut que, dans la différentiation de la seule soit censée variable ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d’écrire simplement il faudra écrire de même, et par un raisonnement semblable, on écrira et au lieu de et De cette manière, dans l’hypothèse que la particule demeure rectangulaire après la variation, on aura

Il en serait encore de même si l’on supposait que la particule devînt, par la variation, un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de l’angle droit ; car on sait, par la Géométrie, que, si sont les trois côtés d’un parallélépipède qui forment un angle solide, et les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède, est exprimée par la formule

Or les côtés deviennent, par la variation,

et les cosinus de deviennent infiniment petits ; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de la même expression qu’on vient de trouver.

Mais, quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l’adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l’exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d’une manière rigoureuse, la variation de en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d’un