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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$dx\,dy$ du plan des $xy$ et nommons $\gamma '$ l’angle que le plan tangent fait avec le même plan des $xy\,;$ on aura, par la propriété connue des plans, $dx\,dy=ds^{2}cos\gamma ',$ et l’intégrale _S$\lambda '\delta z'dx\,dy$ deviendra _S$\lambda '\cos \gamma 'dz\,ds^{2},$ laquelle devra s’étendre à tous les points de la surface du fluide.

De même, si $d\sigma ^{2}$ est l’élément de la surface qui répond à l’élément $dx\,dz$ du plan des $xz,$ et qu’on nomme $\beta '$ l’angle que le plan tangent fait avec ce même plan des $xz,$ on aura $dx\,dz=d\sigma ^{2}\cos \beta ',$ et l’intégrale _S$\lambda '\delta y'dx\,dz$ deviendra _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,d\sigma ^{2},$ laquelle devra s’étendre également pour toute la surface du fluide.

30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments $ds^{2}$ et $d\sigma ^{2}$ de la surface puissent n’être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n’empêche d’employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n’influe point sur celle de l’intégrale. Ainsi l’on pourra changer l’intégrale _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,d\sigma ^{2},$ en _S$\lambda '\cos \beta '\delta y'\,ds^{2}.$

Par le même raisonnement, l’intégrale _S$\lambda '\delta x'dy\,dz$ pourra se mettre sous la forme _S$\lambda '\cos \alpha '\delta x'ds^{2},$ en nommant $\alpha '$ l’angle que le plan tangent fait avec le plan des $xy.$

D’ailleurs, il est évident qu’on peut toujours prendre les éléments $dx,\,dy,\,dz$ tels qu’ils satisfassent aux conditions

$dx\,dy=\cos \gamma 'ds^{2},\qquad dx\,dz=\cos \beta 'ds^{2},\qquad dy\,dz=\cos \alpha 'ds^{2},$

lesquelles donnent

${\begin{aligned}dx=&ds{\sqrt {\frac {\cos \beta '\cos \gamma '}{\cos \alpha '}}},\\dy=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \gamma '}{\cos \beta '}}},\\dz=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \beta '}{\cos \gamma '}}}.\end{aligned}}$