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MÉCANIQUE ANALYTIQUE
sera le carré de sa vitesse, et
![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868b11307d7a2dfc87d900eb4a9a3c99879b9fc9)
sa force vive. Donc
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868b11307d7a2dfc87d900eb4a9a3c99879b9fc9)
sera la somme des forces vives de tous les corps, ou la force vive de tout le système ; et l’on voit, par l’équation dont il s’agit, que cette force vive est égale à la quantité
S![{\displaystyle \Pi \mathrm {m} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416eee9199ea7f7abf081eed573038362eb7c8a3)
laquelle dépend simplement des forces accélératrices qui agissent sur les corps, et nullement de leur liaison mutuelle, de sorte que la force vive du système est à chaque instant la même que les corps auraient acquise si, étant animés par les mêmes puissances, ils s’étaient mus librement chacun sur la ligne qu’il a décrite. C’est ce qui a fait donner le nom de conservation des forces vives à cette propriété du mouvement.
35. Ce principe a lieu aussi lorsqu’on rapporte les mouvements des corps à leur centre de gravité ; car, en nommant, comme ci-dessus, (art. 3)
les trois coordonnées du centre de gravité, et faisant
![{\displaystyle x=x'+\xi ,\qquad y=y'+\eta ,\qquad z=z'+\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701ae580916505e3f22ab4edb9e1601103e3718e)
les coordonnées auront leur origine dans le centre de gravité. On aura ainsi
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868b11307d7a2dfc87d900eb4a9a3c99879b9fc9)
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {d\xi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\eta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8ca1d8ce48eea685252eb622f456f3052d025d)
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} {\frac {d\zeta }{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9246f62bdce718c5ebf425ae7876d30161ae3b9)