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MÉCANIQUE ANALYTIQUE
satisfait aussi à la même équation en différences finies, qu’on peut représenter par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} ^{2}\,\!_{_{'}}\!\xi }{\mathrm {D} t^{2}}}-k^{2}{\frac {\mathrm {D} ^{2}\,\!_{_{'}}\!\xi }{\mathrm {D} x^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5478908c230049c82d385554d09adf7e842f3709)
pourvu qu’on y suppose
et
constant. En effet, on a, en ne faisant varier que ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{2}\!\,_{_{'}}\!\Phi (x+kt)=\Phi (x+\mathrm {D} x+kt)-2\Phi (x+kt)+\Phi (x-\mathrm {D} x+kt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a72e08cb0accae68503ef9f9288c28b42dac1a)
et, en ne faisant varier que le ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{2}\!\,_{_{'}}\!\Phi (x+kt)=\Phi (x+kt+k\mathrm {D} t)-2\Phi (x+kt)+\Phi (x+kt-k\mathrm {D} t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ee0e6e8b65c53d8cd4f150110856e7dce2019f)
expressions qui deviennent égales en faisant
et l’on trouvera la même chose pour la fonction ![{\displaystyle \Psi (x-kt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc1f2f8ab96f440c77970445c41856571a47fe8)
Dans l’infiniment petit, la condition
disparaît, et l’intégrale a toujours lieu ; la raison en est qu’alors l’expression
qui paraît représenter la différence seconde de
divisée par le carré de la différence de
n’est plus qu’un symbole qui exprime une fonction simple de
dérivée de la fonction primitive
et différente de cette fonction, laquelle est tout à fait indépendante de la valeur de
Il en est de même de l’expression
par rapport à
c’est dans ce changement de fonctions que consiste réellement le passage du fini à l’infiniment petit et l’essence du Calcul différentiel.
64. J’ajouterai encore ici une remarque qui peut être utile dans plusieurs occasions ; elle a pour objet une nouvelle méthode d’interpolation qui résulte des formules de l’article 48.
Nous avons vu que la formule
![{\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{n+1}}\sum \left[\sin \left({\frac {r\rho \pi }{n+1}}\right)\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \alpha _{s}\sin \left({\frac {s\rho \pi }{n+1}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd75c2a2b6b983c215db5c158a2237df77045eac)
devient égale à
lorsque
Donc, si l’on a une suite de quantités
dont le nombre soit
on pourra représenter par la formule précédente un terme quelconque intermédiaire