448
NOTES.
d’où l’on tire, en différentiant successivement par rapport à
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(p){\frac {\partial p}{\partial \xi }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \xi }}+f'(r)\,{\frac {\partial r}{\partial \xi }}+\ldots =&\varphi '(\xi ),\\f'(p){\frac {\partial p}{\partial \pi }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \pi }}+f'(r){\frac {\partial r}{\partial \pi }}+\ldots =&\varphi '(\pi ),\\f'(p){\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+f'(q){\frac {\partial q}{\partial \sigma }}+f'(r){\frac {\partial r}{\partial \sigma }}+\ldots =&\varphi '(\sigma ),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74b63e59d675a3a07c798cd0c01230c4ec8ef12)
Donc, suivant les formules de l’auteur, les trois forces
auxquelles les forces
se trouveraient réduites, seraient exprimées par
![{\displaystyle \Xi =\varphi '(\xi ),\qquad \Pi =\varphi '(\pi ),\qquad \Sigma =\varphi '(\sigma ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596c26672a7ab47174b55bac76f7cd258585c64c)
Ainsi il faudrait que
représentassent trois forces dont la résultante fût la même que celle des proposées
et, par conséquent, fût perpendiculaire à la surface donnée par l’équation
![{\displaystyle f(p,q,r,\ldots )=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03ed66851826164447da26d4a6b08ad4ce350eb)
Or cette surface est la même que celle qui serait donnée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (\xi ,\,\pi ,\,\sigma )=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46acec370f97618d0983a79d5e32cf10242b7560)
entre les coordonnées obliques
Donc, en considérant la surface représentée par l’équation
![{\displaystyle \varphi (\xi ,\,\pi ,\,\sigma )=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46acec370f97618d0983a79d5e32cf10242b7560)
entre les trois coordonnées
relatives à trois axes obliques, on pourrait dire que trois forces dirigées suivant ces coordonnées et proportionnelles aux trois fonctions primes
donnent une résultante perpendiculaire à la surface dont il s’agit, ou se font équilibre sur cette surface ; ce qui est faux, comme on peut s’en assurer immédiatement par le principe même des vitesses virtuelles.
Et, en effet, pour l’équilibre du point auquel les trois forces
sont appliquées, il faudrait que la somme des moments virtuels de ces forces fût nulle pour tout déplacement infiniment petit
qu’on voudrait donner à ce point sur la surface. Si donc on désigne par
les trois projections orthogonales de
sur les trois axes obliques des
il faudrait, pour l’équilibre, qu’on eût toujours l’équation
![{\displaystyle \varphi '(\xi )\delta \xi +\varphi '(\pi )\delta \pi +\varphi '(\sigma )\delta \sigma =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4d38a6cd38fe81a272f69ff38d5d4d13b87396)