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NOTES.
Nous pouvons actuellement donner la démonstration du théorème qui fait l’objet de ce paragraphe.
Une intégrale étant donnée, on peut toujours compléter la solution du problème par des intégrales telles que
L’existence de l’intégrale telle que a été démontrée plus haut. Il reste donc à prouver qu’il existe intégrales distinctes de et de qui, combinées avec donnent à l’équation de Poisson la forme Nommons, en effet, le nombre des intégrales qui remplissent cette condition, et désignons-les par Si est moindre que il existera des intégrales indépendantes de celles-là, ainsi que de et de Soit une de ces intégrales, posons
sera, par hypothèse, différent de zéro. Il le sera également de l’unité, car on aurait sans cela
et serait alors, d’après ce que nous avons supposé, fonction de en sorte que ne serait pas une intégrale nouvelle.
Posons
et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous arrivions à une intégrale identiquement constante ou fonction des précédentes. Soit
cette intégrale, et posons
nous aurons
et, en égalant à zéro, on obtiendra évidemment une équation en, dont l’intégrale fournira des solutions fonctions de et distinctes de car, sans cela, il existerait, contrairement à ce que l’on a supposé, une relation entre les intégrales obtenues avant