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NOTES.
détermine, comme on sait, les valeurs de pour lesquelles la forme quadratique se réduit à une somme composée de moins de carrés cette équation ne sera jamais vérifiée identiquement si la forme par exemple, a son déterminant différent de zéro.
Cela posé, nous commenceronspar établir le lemme suivant :
Appelons, suivant l’usage, forme définie toute fonction quadratique de variables qui est réductible à une somme de carrés tous de même signe, et qui, par suite, ne peut s’annuler que si l’on attribue des valeurs nulles à toutes les variables dont elle dépend. Nous allons montrer que, si l’équation a une seule racine imaginaire, il est impossible que la forme quadratique ou toute autre forme du faisceau, soit une forme définie.
Soit, en effet, cette racine imaginaire de l’équation (2) ; la forme quadratique
sera une somme composée de moins de carrés. On pourra donc écrire
(3)
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désignant des fonctions linéaires réelles des variables Si l’on égale les parties réelles et les parties imaginaires dans les deux membres, on aura
et, par conséquent,
On peut, évidemment, donner à cette équation la forme suivante
les, constantes étant toutes réelles. La fonction s’annulera donc si l’on pose, pour toutes les valeurs de l’indice
(4)
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Les équations ainsi obtenues sont en nombre inférieur à elles sont linéaires par rapport aux variables et, de plus, tous leurs coefficients sont réels. Il sera donc possible d’y satisfaire par des valeurs réelles