jusqu’à ce que l’on ait épuisé toutes les variables. Le résultat final est évidemment le suivant :
On peut toujours expriner les deux formes quadratiques et de la manière suivante
les quantités étant des fonctions linéaires, réelles et indépendantes des variables primitives, et les constantes étant les racines nécessairement réelles, mais égales ou inégales, de l’équation (2).
La proposition précédente joue un rôle capital dans un grand nombre d’applications. Considérons, en particulier, le problème des oscillations infiniment petites ; la méthode suivie par Lagrange revient à exprimer toutes les variables dont dépend la position du système en fonction de variables nouvelles
qui seront indépendantes et qui seront toutes nulles dans la position d’équilibre. D’après cela, si l’on suppose que tous les corps soient très voisins de leur position d’équilibre et que les vitesses imprimées à ces corps soient aussi infiniment petites, toutes les variables précédentes seront très petites, et il en sera de même de leurs dérivées
Calculons la demi-force vive et la fonction des forces en les réduisant à leurs termes de moindre dimension. On aura
désignant une forme quadratique des dérivées qui, par sa nature, sera une forme définie.
Quant à la fonction des forces, si l’on désigne par sa valeur dans la position d’équilibre, on aura
désignant une forme quadratique des variables
