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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

proportionnelle à $\mathrm {P} ,$ et qu’on peut représenter simplement par $\mathrm {P} ,$ en prenant le poids qui tend la corde pour l’unité ; soient de même $q$ la distance entre les deux moufles qui produisent la force $\mathrm {Q} ,$ $r$ la distance entre les moufles qui produisent la force $\mathrm {R} ,\ldots .$ Il est évident que $\mathrm {P} p$ sera la longueur de la portion de la corde qui embrasse les deux premières moufles ; pareillement, $\mathrm {Q} q,\,\mathrm {R} r,\ldots$ seront les longueurs des portions de la corde qui embrasse les autres moufles, de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par les moufles fixes et mobiles sera $\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots .$

Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par $a\,;$ ajoutons-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre la dernière poulie de renvoi et le poids attaché à l’extrémité de la corde, et que nous désignerons par $u\,;$ enfin soit $l$ la longueur totale de la corde, dont la première extrémité est fixement attachée à un point immobile dans l’espace, et dont l’autre extrémité porte le poids ; on aura évidemment l’équation

l=\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots +a+u,

d’où l’on tire

u=l-a-\mathrm {P} p-\mathrm {Q} q-\mathrm {R} r-\ldots .

Or, en supposant les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ constantes, c’est-à-dire indépendantes de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ ce qui est toujours permis dans l’équilibre où l’on ne considère que des déplacements infiniment petits, il est visible^[1] que la quantité $\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots$ sera la même que nous

↑ Cette substitution de forces constantes à des forces variables changerait, au contraire, complètement la nature de la fonction $\Pi .$ Si l’on considère, par exemple, une attraction inversement proportionnelle à la distance et égale à ${\frac {\mu }{p}},$ on aura

$\int \mathrm {P} dp=\int {\frac {\mu }{p}}dp=\mu \log p\,;$

en remplaçant, au contraire, $\mathrm {P}$ par une constante, on aurait pour intégrale $\mathrm {P} p,$ ce qui diffère beaucoup du résultat précédent. On peut dire seulement que, pour la valeur des variables qui correspond à l’équilibre, les deux fonctions, quoique très différentes, ont la même variation. (J. Bertrand.)

[1] Cette substitution de forces constantes à des forces variables changerait, au contraire, complètement la nature de la fonction $\Pi .$ Si l’on considère, par exemple, une attraction inversement proportionnelle à la distance et égale à ${\frac {\mu }{p}},$ on aura

$\int \mathrm {P} dp=\int {\frac {\mu }{p}}dp=\mu \log p\,;$

en remplaçant, au contraire, $\mathrm {P}$ par une constante, on aurait pour intégrale $\mathrm {P} p,$ ce qui diffère beaucoup du résultat précédent. On peut dire seulement que, pour la valeur des variables qui correspond à l’équilibre, les deux fonctions, quoique très différentes, ont la même variation. (J. Bertrand.)

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