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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.
laquelle, à cause que
est une fonction de
uniquement et que par conséquent
est aussi intégrable, son intégrale étant
![{\displaystyle p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\mathrm {T} =h^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb366155cc1270dea9d021b026d2814ade96a3d)
étant une nouvelle constante arbitraire.
En mettant dans ces équations, au lieu de
leurs valeurs, on aura deux équations du second degré entre
par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de deux de ces variables en fonctions de la troisième ; et, ces valeurs étant ensuite substituées dans une quelconque des trois équations
on aura une équation du premier ordre entre
et la valeur dont il s’agit ; ainsi l’on pourra connaître par ce moyen les valeurs de
en
C’est ce que nous allons développer.
Je remarque d’abord qu’on peut réduire la seconde des deux intégrales trouvées à une forme plus simple, en faisant attention que, puisque
est une fonction homogène de deux dimensions de
on a, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,
![{\displaystyle p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=2\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723117d9cd7dcf4cf44e8eb3b07bcee788171409)
ce qui réduit l’équation intégrale dont il s’agit à
![{\displaystyle \mathrm {T} =h^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e972d923a12678064c4727bb7ed9d7ab9a38a81)
laquelle exprime la conservation des forces vives du mouvement de rotation.
Je remarque ensuite que, comme la quantité
![{\displaystyle \left(r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}+\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left(q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369fe14b4272eadd8f92f2d79f793d3c202f6373)
est équivalente à celle-ci
![{\displaystyle \left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\left[\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}\right]-\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb7faca7ae038db448984559a88714e058e44ca)