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SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

laquelle, à cause que $\mathrm {T}$ est une fonction de $p,\,q,\,r$ uniquement et que par conséquent $d\mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}dr,$ est aussi intégrable, son intégrale étant

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\mathrm {T} =h^{2},$

$h^{2}$ étant une nouvelle constante arbitraire.

En mettant dans ces équations, au lieu de $\mathrm {T} ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}},$ leurs valeurs, on aura deux équations du second degré entre $p,\,q,\,r,$ par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de deux de ces variables en fonctions de la troisième ; et, ces valeurs étant ensuite substituées dans une quelconque des trois équations $(\mathrm {A} ),$ on aura une équation du premier ordre entre $t$ et la valeur dont il s’agit ; ainsi l’on pourra connaître par ce moyen les valeurs de $p,\,q,\,r$ en $t.$ C’est ce que nous allons développer.

Je remarque d’abord qu’on peut réduire la seconde des deux intégrales trouvées à une forme plus simple, en faisant attention que, puisque $\mathrm {T}$ est une fonction homogène de deux dimensions de $p,\,q,\,r,$ on a, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=2\mathrm {T} ,$

ce qui réduit l’équation intégrale dont il s’agit à

$\mathrm {T} =h^{2},$

laquelle exprime la conservation des forces vives du mouvement de rotation.

Je remarque ensuite que, comme la quantité

$\left(r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}+\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left(q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}$

est équivalente à celle-ci

$\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\left[\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}\right]-\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2},$