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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et, par conséquent, impossible, tant que $m,\,n,\,m',\,n',\,m'',\,n''$ seraient réelles ; d’où il s’ensuit que $\beta$ et $\gamma$ ne peuvent être imaginaires^[1].

Pour qu’on puisse se convaincre directement de cette vérité, d’après l’équation même dont il s’agit, je mets cette équation sous la forme

$\alpha -\mathrm {C} =\mathrm {\frac {F^{2}a(\alpha -A)+G^{2}a(\alpha -B)-2FGH}{(\alpha -A)(\alpha -B)-H^{2}}} \,;$

j’y substitue successivement, au lieu de $\alpha ,$ les deux autres racines $\beta$ et $\gamma ,$ et je retranche les deux équations résultantes l’une de l’autre ; j’aurai, après les réductions et la division par $\beta -\gamma ,$ cette transformée

${\begin{aligned}&\mathrm {\left[(\beta -A)(\beta -B)-H^{2}\right]\left[(\gamma -A)(\gamma -B)-H^{2}\right]} \\&\quad +\mathrm {\left(F^{2}+G^{2}\right)\beta \gamma -\left(AF^{2}+BG^{2}+2FGH\right)(\beta +\gamma )} \\&\quad +\mathrm {\left(F^{2}+G^{2}\right)H^{2}+A^{2}F^{2}+B^{2}G^{2}+2FGH(A+B)} =0,\end{aligned}}$

laquelle est réductible à cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {\left[(\beta -A)(\beta -B)-H^{2}\right]\left[(\gamma -A)(\gamma -B)-H^{2}\right]} \qquad \quad &\\+\mathrm {\left[F(\beta -A)-GH\right]\left[F(\gamma -A)-GH\right]} &\\+\mathrm {\left[G(\beta -B)-HF\right]\left[G(\gamma -B)-HF\right]} &=0,\end{aligned}}$

qu’on voit être la même chose que l’équation

$p''p'''+q''q'''+r''r'''=0,$

et qui fournit, par conséquent, des conclusions semblables^[2].

Donc les trois racines $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ seront nécessairement toutes réelles, et les neuf coefficients $p',\,q',\,r',\,p'',\ldots ,$ qui sont des fonctions rationnelles de ces racines, seront réels aussi.

28. Nous venons de déterminer les valeurs de ces coefficients en

1. L’équation dont il s’agit ici est celle qui fait connaître la direction des axes principaux dans les surfaces du second ordre. La démonstration qui suit est la première preuve directe qui ait été donnée de la réalité des racines de cette équation. (J. Bertrand.)
   
2. On voit que l’intervention des quantités $p'',\,p''',\ldots$ n’est nullement indispensable ; il suffit de remarquer que la dernière équation a pour premier membre la somme des produits de trois couples d’expressions imaginaires conjuguées. (J. Bertrand.)