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SECONDE PARTIE. — SECTION XI.

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}=&{\frac {\alpha }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}=&{\frac {\alpha '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}=&{\frac {\alpha ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\end{aligned}}$

Ainsi, substituant ces valeurs dans les trois équations (A) de l’article 2, elles deviendront de cette forme, après avoir multiplié par $\theta ,$

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)-a\ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta \ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma \ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)-a'\ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta '\ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma '\ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)-a''{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma ''{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\end{aligned}}\right.$

où il n’y a, comme l’on voit, que des différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\,t.$

Dans ces équations, là quantité $\Delta$ qui exprime la densité est une fonction donnée de $a,\,b,\,c$ sans $t,$ puisqu’elle doit demeurer invariable pour chaque particule ; et si le fluide est homogène, $\Delta$ sera alors une constante indépendante de $a,\,b,\,c,\,t.$ Quant aux quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ qui représentent les forces accélératrices, elles seront le plus souvent données en fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$

6. Mais on peut réduire les équations précédentes à une forme plus simple, en ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement et successivement par ${\frac {\partial x}{\partial a}},\,{\frac {\partial y}{\partial a}},\,{\frac {\partial z}{\partial a}},$ par ${\frac {\partial x}{\partial b}},\,{\frac {\partial y}{\partial b}},\,{\frac {\partial z}{\partial b}}$ et par ${\frac {\partial x}{\partial c}},\,{\frac {\partial y}{\partial c}},\,{\frac {\partial z}{\partial c}}\,;$ car, d’après les expressions de $\theta ,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\,\beta ',\ldots$ données ci-dessus, il est aisé de voir qu’on aura

$\theta =\alpha {\frac {\partial x}{\partial a}}+\alpha '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\alpha ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=\beta {\frac {\partial x}{\partial b}}+\beta '{\frac {\partial y}{\partial b}}+\beta ''{\frac {\partial z}{\partial b}}=\gamma {\frac {\partial x}{\partial c}}+\gamma '{\frac {\partial y}{\partial c}}+\gamma ''{\frac {\partial z}{\partial c}}\,;$