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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
répondent, on aura enfin la série[1]
![{\displaystyle \Phi =\theta +\mathrm {2E\sin \theta +{\frac {2E^{2}}{2}}\sin 2\theta +{\frac {2E^{3}}{3}}\sin 3\theta } +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9267e3f5f9377f6100026ed832b62cc3c3b8e488)
Il ne s’agira donc plus que de substituer pour
sa valeur en
Si donc on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} =\cos u+\mathrm {E} \cos 2u+\mathrm {E} ^{2}\cos 3u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6decae86341546a3f21abf5fb3d552d5f22cede)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi =u&+e\sin u+{\frac {e^{2}d\sin ^{2}u}{2du}}+{\frac {e^{2}d^{2}\sin ^{3}u}{2.3du^{3}}}+\ldots \\&+2\mathrm {E} \sin u+{\frac {2\mathrm {E} ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {2\mathrm {E} ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots \\&+2e\mathrm {EU} \sin u+2e^{2}\mathrm {E} {\frac {d\left(\mathrm {U} \sin ^{2}u\right)}{2du}}+2e^{3}\mathrm {E} {\frac {d^{2}\left(\mathrm {U} \sin ^{3}u\right)}{2.3du^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f079a0857c29d7bf7cb431059d8b9c18e3eb46)
On peut réduire la valeur de
à une forme finie, et l’on trouve
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {\cos u-\mathrm {E} }{1-2\mathrm {E} \cos u+\mathrm {E} ^{2}}}={\frac {\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)\cos u-e}{2(1-e\cos u)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f144131b9b09198c70b31b2e6ffb2cf2121d70e)
Ces formules ont l’avantage de donner la loi des séries, qui n’était pas connue auparavant.
23. Puisqu’en prenant le plan des
pour celui de l’écliptique supposé fixe, et supposant l’axe des
dirigé vers le premier point d’Aries, l’angle
est ce qu’on appelle la longitude de la planète, l’angle
est la longitude du nœud, l’angle
est la latitude, il est clair que l’angle
dont
est la projection sur l’écliptique, sera la longitude dans l’orbite comptée du nœud, ou ce qu’on appelle l’argument de la latitude ; et l’équation (art. 7)
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\varphi -h)=\cos i\operatorname {tang} (\Phi +k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece6ee2958bb0bdf4640cfe40ff69f8dc0dbb3d1)
- ↑ Voir dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1776 plusieurs applications de cette méthode*. (Note de Lagrange.)
* Le Mémoires auquel renvoie Lagrange a pour titre Solution de quelques problèmes d’Astronomie par le moyen des séries et se trouve inséré au tome IV des Œuvres de Lagrange, p. 275 G. D.
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