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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
L’article 9 donne d’abord, en mettant
à la place de
et changeant
en
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}}-\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\quad \mathrm {B} =\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}}-\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}},\quad \mathrm {C} =\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}}-\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d376c906aaa66dbb51582fe5868364d1225c41)
![{\displaystyle 2\mathrm {H} =\left({\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\right)^{2}-\mathrm {\frac {2g}{r}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635f41393aa9a01fb5a5352f28f4e438226d3aee)
et les articles 11 et 15 donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {D} \sin i\sin h,\qquad &\mathrm {B} =&-\mathrm {D} \sin i\cos h,\qquad &\mathrm {C} =&\mathrm {D} \cos i,\\\mathrm {D} =&{\sqrt {\mathrm {g} b}},&\mathrm {H} =&-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a776d7721eb8187dff350e64d34b4c8b695e212c)
On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe
du demi-paramètre
d’où l’on tire l’excentricité
et les angles
et
et il ne restera qu’à connaître les quantités
et
32. Il est bon de remarquer que la valeur de
et celle de
peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est clair que
est le carré de la vitesse initiale, laquelle étant nommée
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {2}{r}}-{\frac {u^{2}}{g}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47dcafd2d9300db3cb355277f76241ce3426fa2c)
d’où l’on voit que le grand axe de la section conique et, par conséquent aussi, le temps périodique (art. 16) ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif et de la vitesse de projection.
À l’égard du paramètre
on a réduit, dans l’article 11, la quantité
à la forme
où
est l’angle décrit par le rayon
dans l’instant
de sorte que
est le petit arc décrit par le même rayon ; par conséquent,
est la vitesse perpendiculaire à ce rayon et que le corps a pour tourner autour du foyer.