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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
Les valeurs de
et de
étant connues, les mêmes équations donneront
les valeurs des différentielles
ainsi le problème sera réduit au cas précédent.
35. Enfin, si l’on ne connaissait que trois rayons vecteurs
avec les temps
et
écoulés entre les passages par
et
et par
et
on pourrait encore déterminer l’orbite par les formules de l’article 29, en supposant les temps
et
assez petits.
Car, en faisant
dans la valeur de
et ne poussant les séries pour les valeurs de
et
que jusqu’aux
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t\ -{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3r^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t'-{\frac {\mathrm {g} t'^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t'^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158507040ee3f23f62c385e562183e6a6f18200e)
équations d’où l’on tirera les valeurs
et
Ces deux dernières donnent tout de suite, par les formules de l’article 19,
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}-{\frac {d\mathrm {s} }{\mathrm {g} dt}},\quad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c29318c792314f1c244fc9bcc0cf0e3dc1cbedf)
ensuite on aura l’angle
compris entre le rayon
et celui du périhélie, par la formule (art. 15)
![{\displaystyle \cos \Pi ={\frac {b-\mathrm {r} }{\mathrm {r} e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8d8870508d4dc2d117c8b1f0f577c9c2be12f7)
étant égal ![{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece22efba16486fab0122e2ca7b048bd845ac5cb)
Si l’orbite était une parabole, on aurait
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {\frac {g}{r}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb68fb6cefca64d736b1849188274480c5ad04a7)
alors il suffirait de connaître deux distances
et
la première donnerait la valeur de
et la seconde la valeur de
par l’équation
![{\displaystyle r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}-{\frac {\mathrm {g} t^{2}}{\mathrm {r} }}+\left(2t-{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7227e8e3d0128739789aeedcbf933b224a7704)