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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Les valeurs de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {V}$ étant connues, les mêmes équations donneront les valeurs des différentielles ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\,;$ ainsi le problème sera réduit au cas précédent.

35. Enfin, si l’on ne connaissait que trois rayons vecteurs $r,\,r',\,r'',$ avec les temps $t$ et $t'$ écoulés entre les passages par $r$ et $r'$ et par $r$ et $r'',$ on pourrait encore déterminer l’orbite par les formules de l’article 29, en supposant les temps $t$ et $t'$ assez petits.

Car, en faisant $t=0$ dans la valeur de $r^{2},$ et ne poussant les séries pour les valeurs de $r'^{2}$ et $r''^{2}$ que jusqu’aux $t^{3}$ et $t'^{3},$ on aura

${\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t\ -{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3r^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+\left(2t'-{\frac {\mathrm {g} t'^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t'^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\end{aligned}}$

équations d’où l’on tirera les valeurs $\mathrm {r,s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$ Ces deux dernières donnent tout de suite, par les formules de l’article 19,

${\frac {1}{a}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}-{\frac {d\mathrm {s} }{\mathrm {g} dt}},\quad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} \,;$

ensuite on aura l’angle $\Pi$ compris entre le rayon $r$ et celui du périhélie, par la formule (art. 15)

$\cos \Pi ={\frac {b-\mathrm {r} }{\mathrm {r} e}},$

$e$ étant égal ${\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}.$

Si l’orbite était une parabole, on aurait $a=\infty$ et, par conséquent,

${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {\frac {g}{r}} \,;$

alors il suffirait de connaître deux distances $r$ et $r'\,;$ la première donnerait la valeur de $\mathrm {r} ,$ et la seconde la valeur de $\mathrm {s} ,$ par l’équation

$r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}-{\frac {\mathrm {g} t^{2}}{\mathrm {r} }}+\left(2t-{\frac {\mathrm {g} t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} .$