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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
regarder comme des forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avons donné une solution générale dans la Section
et que nous appliquerons ici aux orbites des planètes.
§ I. — Du changement produit dans les éléments de l’orbite d’une planète,
lorsqu’elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.
53. Nous avons vu, dans le § II du Chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les éléments du mouvement elliptique d’une planète par des fonctions des coordonnées
et de leurs différentielles
qui expriment les vitesses suivant les directions de ces coordonnées. Si donc on suppose qu’une planète, pendant qu’elle se meut, reçoive dans un lieu quelconque de son orbite une impulsion qui lui communique les vitesses
suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter, il n’y aura qu’à mettre dans les mêmes fonctions
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+{\dot {x}},\quad {\frac {dy}{dt}}+{\dot {y}},\quad {\frac {dz}{dt}}+{\dot {z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/945c0e54bb574b9d5aa75d27f67fb68b1200674a)
à la place de
et l’on aura les éléments de la nouvelle orbite que la planète décrira après l’impulsion.
Si, à la place des coordonnées rectangles
on prend, comme dans l’article 5, le rayon vecteur
avec les angles
et
, dont le premier
soit l’inclinaison de
sur le plan fixe des
et dont l’autre
soit l’angle de la projection de
sur ce plan avec l’axe fixe des
les expressions de l’orbite deviennent plus simples.
En effet, en substituant
et
à la place de
on trouve, pour les éléments
![{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{gdt^{2}}},\quad b={\frac {r^{4}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{gdt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f40de061368a1d5139c2b0e6e251cb149450a93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} h=&{\frac {\sin \varphi d\psi -\sin \psi \cos \psi \cos \varphi d\varphi }{\cos \varphi d\psi +\sin \psi \cos \psi \sin \varphi d\varphi }},\\\operatorname {tang} i=&{\frac {\sqrt {d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}\psi d\varphi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839a418eb38282e3db77e52ab77656abf56330cf)