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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et de là on tire
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\frac {\sqrt {b}}{r^{2}}},\qquad {\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2768d3a5d470f5bde31e8da2da0c977e6f42ed9)
En substituant ces valeurs, on aura les éléments de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l’orbite primitive et par les vitesses
produites par l’impulsion.
55. Supposons maintenant qu’on demande l’impulsion nécessaire pour changer les éléments primitifs
en
et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l’angle
il ne s’agira que d’avoir les expressions
en
et
Les formules que nous venons de trouver donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\sin I} }{r^{2}}},\qquad {\dot {\varphi }}={\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\cos I} -{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{r^{2}}},\\{\dot {r}}=&{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}}-{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8582d49cde4c5e604ff3414ccfbd414652c4c7)
Soit
la vitesse imprimée par l’impulsion, et soient
les angles que la direction de l’impulsion fait avec trois axes dont l’un soit le rayon
prolongé, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan ; on aura, par le principe de la décomposition,
pour les trois vitesses suivant ces axes, lesquelles sont aussi celles que nous avons désignées par
On aura donc
![{\displaystyle u\cos \alpha ={\dot {r}},\qquad u\cos \beta =r{\dot {\varphi }},\qquad u\cos \gamma =r{\dot {\psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7859f229a9b2a8480751960f18b977c1a602edea)
d’où l’on tire, à cause de ![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3730cde03987e62154151ec458b1c2c0649067)
![{\displaystyle u={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+r^{2}{\dot {\psi }}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2341761759b7c99890c01798b1a6e46718e2a4)
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} ={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}},\qquad f={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251b2b5846b9327bcb1ca72973f59594486f9ddc)