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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
vement elliptique de la planète, comme on peut s’en assurer par la différentiation, en faisant varier le temps
dans les coefficients.
61. En effet, puisque
est censé fonction de
et que
varient aussi avec
de manière que
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed8514117a6e3b959c318e5237ca56a76863447)
et
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05da63472d933b8f3e5ea9307a3fdfa905991a)
par les équations différentielles du problème (art. 4), il s’ensuit qu’on aura, en différentiant par rapport à
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71e2cd5720b754e8b2466526c5ee8e12e3672c7)
Mais,
étant une des constantes arbitraires introduites par l’intégration des mêmes équations, sa différentielle relative à
doit devenir identiquement nulle par les mêmes valeurs de
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial t}}+{\frac {\partial a}{\partial x}}x'+{\frac {\partial a}{\partial y}}y'+{\frac {\partial a}{\partial z}}z'-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f17fa8c4ec832339693c85ab74e843794e1113)
équation identique qui subsistera, par conséquent, en faisant varier séparément ![{\displaystyle x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b610e40541e4369daeea48af9d61a5da140bb38)
Faisons varier
on aura donc aussi
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a371a6cc0959dbac71c1f51deb17907bd85301d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}&-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\\-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}&-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}\ \,-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77104eff00fd26db6664799b660f1ed3bc3eed2e)
Donc la valeur de la différentielle de
se réduira à
![{\displaystyle d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb4aec7057cf46cc94746253edf115673ebe5ce)