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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
et une élégance qu’il n’aurait pas, à beaucoup près, par les autres formules.
67. Reprenons les expressions de
données dans l’article 13,
![{\displaystyle x=\alpha \mathrm {X+\beta Y} ,\qquad y=\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} ,\qquad z=\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6379814c3ebbbf1416764aa1b308f61dc328061)
dans lesquelles (art. 17)
![{\displaystyle \mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba61e67e441cddeefda5d0bfe38b691c5071aaa2)
l’angle
étant déterminé par l’équation (art. 16)
![{\displaystyle t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69521b7a6b4eb1710daf132d4da57fe1343fdad)
Ces formules ont l’avantage que les trois éléments de l’orbite
ne se trouvent que dans les quantités variables
et sont, par conséquent, séparés des trois éléments
qui dépendent de la position de l’orbite et dont les coefficients
sont fonctions (art. 13).
Considérons d’abord la formule
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial b}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial b}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial b}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0c9692a1516256a7be92447a1d5f37e9b15217)
et substituons-y les valeurs de
données ci-dessus ; en faisant
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe07a33af66c2f7a6b20961858fbd0324167d86)
on aura pour
les mêmes expressions, où les quantités
seront marquées d’un trait ; et comme les constantes
n’entrent que dans
et
, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}},\\{\frac {\partial x}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b507fab966bfa2296f8aa948b948359394b1113)