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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

donne, par la différentiation,

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{1-e\cos \theta }}\,;$

donc on aura

$\mathrm {X} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }},\qquad \mathrm {Y} '=-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} \left(1-e^{2}\right)}{a}}}\ {\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}.$

Il faut maintenant différentier ces formules en faisant varier les trois constantes $a,e,c\,;$ nous dénoterons par la caractéristique $\delta$ les variations relatives à ces constantes ; ainsi l’on aura d’abord

$\delta \theta ={\frac {(t-c){\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}+\sin \theta de-{\sqrt {\cfrac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}dc}{1-e\cos \theta }}\,;$

ensuite

${\begin{aligned}\delta \mathrm {X} =&-a\sin \theta \delta \theta +\cos \theta da-d(ae),\\\delta \mathrm {Y} =&a{\sqrt {1-e^{2}}}\cos \theta \delta \theta +\sin \theta d\left(a{\sqrt {1-e^{2}}}\right),\\\delta \mathrm {X} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\cos \theta -e}{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sin \theta \cos \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}de-{\frac {\sin \theta }{1-e\cos \theta }}d{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}},\\\delta \mathrm {Y} '=&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\sin \theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}\delta \theta \\&+{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}{\frac {\cos ^{2}\theta }{(1-e\cos \theta )^{2}}}dc+{\frac {\cos \theta }{1-e\cos \theta }}d\left({\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}\right).\end{aligned}}$

On peut faire ici $t=0\,;$ mais il est plus simple de faire $t=c,$ ce qui donne aussi $\theta =0\,;$ ainsi l’on aura, en changeant $\mathrm {X,\,Y}$ en $X,\,Y,$

${\begin{aligned}\delta \theta =&-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}{\frac {dc}{1-e}},\\\delta X=&(1-e)da-adc,\\\delta Y=&a{\sqrt {1-e^{2}}}\delta \theta =-{\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a}}}\ {\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{1-e}}dc,\end{aligned}}$