Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/18

2.

LAGRANGE À CONDORCET.

À Berlin, ce i^er décembre 1772^[1].

Je vous dois deux réponses, mon cher et illustre ami l’une à la lettre du 22 juillet et l’autre à celle du octobre ; je suis tout honteux de ne m’être pas acquitté plus tôt de ce double devoir.

Je vous remercie bien sincèrement du suffrage que vous voulez bien accorder à mes recherches sur les tautochrones^[2], et sur les équations. J’ai examiné la démonstration donnée par M. Fontaine du théorème sur les fonctions homogènes, et je la trouve en elfet un peu louche ; voici ce me semble de quelle manière on pourrait la présenter, en partant toujours du même principe. $\operatorname {F}$ étant la fonction homogène de $x,\,y,\,z,\,\ldots ,$ il faudra qu’en y mettant $ax,\,ay,\,az,\,\ldots$ à la place de ces variables elle devienne $a^{e}\operatorname {F} ,$ $e$ étant la dimension de la fonction, et $a$ un coefficient quelconque. Mettons $1+\alpha$ à la place de $a,$ et regardons $\alpha$ comme infiniment petit la fonction $\operatorname {F}$ deviendra, d’un côté,

$\operatorname {F} +{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial x}}\alpha x+{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial y}}\alpha y+{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial z}}\alpha z$

et de l’autre

$(1+\alpha )^{e}\operatorname {F} =\operatorname {F} +\alpha e\operatorname {F} \,;$

donc

$e\operatorname {F} ={\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial x}}x+{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial y}}y+{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial z}}z.$

Je serais bien curieux de lire le précis historique que vous avez fait de sa vie^[3]. Si vous le faites imprimer, je vous prie de ne me pas oublier. Cet écrit doit m’intéresser doublement, et parce qu’il vient de vous, et parce qu’il regarde un homme dont la mémoire me sera tou-

1. Ms. f° 17.
2. Voir t. XIII p. 213.
3. L’éloge de Fontaine se trouve au Tome II, p. 139 de l’édition de Condorcet, publiée par Arago.